Pour la construction d`un tel processus stochastique, on suppose que les fonctions de l`échantillon du processus stochastique appartiennent à un espace de fonction convenable, qui est généralement l`espace Skorokhod composé de toutes les fonctions à droite-continu avec des limites de gauche. Les travaux de Bernoulli, y compris le processus de Bernoulli, ont été publiés dans son livre ARS Conjectandi en 1713. Le travail est maintenant considéré comme une découverte précoce de la méthode statistique connue sous le nom de filtrage de Kalman, mais le travail a été largement négligé. Dans 1953 Doob a publié son livre stochastique processus, qui a une forte influence sur la théorie des processus stochastiques et a souligné l`importance de la théorie de la mesure dans la probabilité. Une autre approche consiste à définir une collection de variables aléatoires pour avoir des distributions spécifiques de dimensions finies, puis à utiliser le théorème d`existence de Kolmogorov [j] pour prouver qu`il existe un processus stochastique correspondant. Si le p = 0. Parfois le processus de point de terme n`est pas préféré, comme historiquement le processus de mot a noté une évolution de quelque système dans le temps, ainsi un processus de point est également appelé un champ de point aléatoire. Le concept de la propriété Markov était à l`origine pour les processus stochastiques en temps continu et discret, mais la propriété a été adaptée pour d`autres ensembles d`index tels que n {displaystyle n}-dimensions espace euclidien, qui se traduit par des collections de Random variables appelées champs de Markov aléatoires. Une incrémentation d`un processus stochastique est la différence entre deux variables aléatoires du même processus stochastique. Doob a également développé principalement la théorie des martingales, avec des contributions substantielles ultérieures de Paul-André Meyer. Défini sur la ligne réelle, le processus de poisson peut être interprété comme un processus stochastique, [50] [128] parmi d`autres objets aléatoires.
Les termes «collection», [29] [71] ou «famille» sont utilisés [4] [74] alors qu`au lieu de «index Set», on utilise parfois les expressions «paramètre SET» [29] ou «paramètre Space» [31]. Les espaces de fonction Skorokhod sont fréquemment utilisés dans la théorie des processus stochastiques car ils supposaient souvent que les fonctions d`échantillonnage des processus stochastiques à temps continu appartiennent à un espace Skorokhod. Skorokhod espace de fonction, introduit par Anatoliy Skorokhod, [228] est souvent notée avec la lettre D {displaystyle D}, [226] [227] [228] [229] de sorte que l`espace de fonction est également appelé espace D {displaystyle D}. Andrei Kolmogorov a développé dans un document 1931 une grande partie de la théorie précoce des processus de Markov à temps continu. La stationnarité est une propriété mathématique qu`un processus stochastique a lorsque toutes les variables aléatoires de ce processus stochastique sont identiques distribuées. Mais le concept de stationnarité existe également pour les processus de points et les champs aléatoires, où le jeu d`index n`est pas interprété comme le temps. Dans son premier article sur les chaînes de Markov, publié en 1906, Markov a montré que, sous certaines conditions, les résultats moyens de la chaîne de Markov convergent vers un vecteur fixe de valeurs, prouvant ainsi une loi faible de grand nombre sans l`hypothèse de l`indépendance [6] [294 ] [295] [296] qui avait été communément considéré comme une exigence de ces lois mathématiques à tenir. Inversement, des méthodes de la théorie des martingales ont été établies pour traiter les processus de Markov. Lorsque le jeu d`index T {displaystyle T} peut être interprété comme le temps, un processus stochastique est dit stationnaire si ses distributions dimensionnelles finies sont invariantes sous les traductions du temps.